Pollution au CO2 : modéliser l'aération d'une pièce fermée

Ces travaux ont été réalisés en classe préparatoire dans le cadre des TIPE (Travaux d’Initiative Personelle Encadrés) de l’année scolaire 2021-2022. Le thème était “Santé, prévention”.

Genèse

La pollution au CO2 est un enjeu sanitaire important, spécifiquement en intérieur où la concentration en CO2 est bien plus élevée. Des conséquences sur les facultés mentales et psychomotrices peuvent être prévenues en aérant régulièrement les pièces.

L’aération régulière d’une pièce fermée est essentielle pour renouveler l’air pollué. L’utilisation d’un capteur de CO2 permet de signaler l’atteinte d’un seuil limite de concentration. Cette étude se propose d’analyser l’évacuation du CO2 pendant l’aération d’une pièce afin de pouvoir l’aérer de manière optimale.

Introduction

Le renouvellement de l’air dans une pièce est un processus clé dans la prévention de la pollution intérieure, notamment au CO2. Cette pollution est principalement causée par la respiration humaine. Pour maintenir un taux de CO2 bas, il est recommandé d’aérer régulièrement les pièces fermées, et de mesurer le taux de CO2 grâce à un capteur infrarouge [1]. Plusieurs phénomènes entrent en jeu lors de cette aération : le vent, la convection par différence de température. Mais le débit de renouvellement reste complexe à établir dans le cas de la convection. Cependant il est facile de modéliser l’augmentation du taux de CO2 dans la pièce dû à la respiration humaine.

Selon le mode d’aération, par ventilation mécanique ou naturelle, il est possible de modéliser théoriquement l’évolution de la concentration d’un gaz dans une pièce grâce au débit de renouvellement selon des modèles décrits par Laussmann et Helm en 2011 [2]. Ils indiquent aussi que le taux de changement d’air peut aussi être suivi grâce à des gaz traceurs, comme le CO2. Ils précisent des ordres de grandeur selon le mode d’aération qui seront des valeurs contrôles pour l’expérience et la simulation. Le débit de renouvellement ainsi que la concentration initiale de la pièce permettent d’en déduire des durées idéales d’aération comme calculées par le CDC selon plusieurs cas de figures [3]. Ces valeurs et ce mode de calcul permettront de confronter le modèle à la réalité.

Pour modéliser informatiquement ce phénomène, le mouvement brownien peut être utilisé. Ce modèle de marche aléatoire, pratique à implémenter en Python, décrit par J. Roussell [4] permet d’approximer l’équation de diffusion. Il est donc possible de modéliser le comportement de milliers de particules dans une pièce confinée qui sera la même que dans l’expérience. Pour se ramener à des unités communes et à l’échelle macroscopique, B. Diu et ses co-auteurs [5] établissent des ordres de grandeur cohérents pour cette description par la marche aléatoire applicables pour la simulation informatique. Ils permettent de faire le lien entre le modèle de simulation et l’application expérimentale.

Problématique retenue

Le sujet a pour but de modéliser théoriquement et informatiquement la propagation du CO2 dans une pièce avec ouverture. Il s’agira de déterminer l’influence de la concentration initiale sur la durée d’aération efficace. L’objectif est de déterminer la durée idéale d’aération pour une pièce d’un volume donné, de manière expérimentale, numérique et théorique.

Objectifs

Modéliser en Python la diffusion de particules de CO2 dans une pièce ouverte
Modéliser théoriquement l’aération d’une pièce par l’évolution du taux de CO2
Déterminer les écarts entre le modèle théorique, la simulation informatique et l’application expérimentale
Étudier l’influence de différents paramètres, comme la concentration initiale
Justifier les approximations réalisées dans la simulation

Un enjeu de santé publique

Échelle de concentration de CO2 dans l'air (source : Orium / Haut conseil de la santé publique / Ministère de la Santé)

L’air extérieur contient en réalité très peu de CO2 comparé à l’air intérieur. L’unité de concentration est le ppm (parties par million), soit le nombre de particules de CO2 pour un million de particules d’air. Un taux de 1000 ppm représente 0,1% du volume d’air.

Aérer les pièces le plus souvent possible, au minimum quelques minutes toutes les heures — Recommandation du gouvernement pendant la crise Covid

Pendant la crise Covid, le taux de CO2 représentait un indicateur de renouvellement de l’air. Le Haut conseil de la santé publique recommandait de ne pas dépasser le seuil de 800 ppm de concentration de CO2 dans l’air afin de se protéger contre le Covid. Le gouvernement recommandait d’aérer les pièces quelques minutes toutes les heures : est-ce vérifiable ? Quelle durée est optimale ?

Or, d’autres effets du CO2 sur l’organisme surviennent. Entre 600 et 1000 ppm, les enfants asthmatiques subissent les premiers effets. Entre 1000 et 2000 ppm, des effets sur la performance psychomotrice (prise de décision, résolution de problèmes) apparaissent.

Expérience

Protocole expérimental

L’objectif est de mesurer l’évolution du taux de CO2 dans une pièce fermée à partir du moment où la fenêtre s’ouvre.

Voici les paramètres de l’expérience :

Dimensions de la pièce : 1.8m x 3m x 2.75m (Volume : $V = 14.85 m^3$ )
Aucune personne dans la pièce
Capteur placé au centre de pièce
A $t=0s$ : $C_i = 1500$ ppm et ouverture de la fenêtre
Surface de la fenêtre : $S = 0,77 m^2$
Température intérieure et extérieure : $T_i = T_e = 21°C$ , $\Delta T = 0$

L’expérience a été réalisée en octobre 2021 au centre de Paris, en dehors des pics de pollution.

Résultats expérimentaux

L’évolution mesurée de la concentration en CO2 au cours de l’aération est représentée sur la figure ci-dessous.

Évolution de la concentration en CO2 au cours du temps lors de l'aération. Le repère met en valeur le temps caractéristique du système $\tau$ (63.2% soit 804.8 ppm).

C’est cette courbe qui sera modélisée théoriquement et numériquement.

Modélisation théorique

L’équation de Heidt & Werner (1986) régit l’évolution de la concentration en CO2 (ou de n’importe quel gaz) dans l’air en fonction du temps via un bilan de masse.

V \frac{dC_i(t)}{dt} = -Q\,C_i(t) + Q\,C_{ext} + E(t)

où :

$V$ représente le volume de la pièce ( $m^3$ )
$Q$ représente le débit d’air ( $m^3/h$ )
$C_i(t)$ représente la concentration en CO2 dans la pièce ( $kg/m^3$ )
$C_{ext}$ représente la concentration en CO2 à l’extérieur ( $kg/m^3$ )
$E(t)$ représente une source de CO2 comme la respiration d’un humain ( $kg/h$ )

Pour simplifier : Variation de masse de CO2 = CO2 sortant - CO2 entrant + CO2 produit.

En supposant $E$ constant et en posant $\lambda = Q/V$ , il vient :

\frac{dC_i(t)}{dt} + \lambda C_i(t) = \lambda C_{ext} + \frac{E}{V}

La résolution de l’équation différentielle donne :

Pour $\lambda = 0$ , pas d’aération, alors : $C_i(t) = C_0 + \frac{E}{V}t$
Sinon pour $\lambda > 0$ , $C_i(t) = (C_0 - C_{ext})e^{-\lambda t} + C_{ext} + \frac{E}{\lambda V}(1 - e^{-\lambda t})$

Petite application numérique simple, pour un cours de 30 élèves dans une salle de classe ( $V = 200 m^3$ (~ 10m x 7.5m x 2.6m) et 30 élèves qui émettent 20L/h de CO2 chacun) :

=> Après 1 heure sans aération : $C_i(t) = 3400$ ppm !

Pour rappel, entre 2000 et 5000 ppm, l’air devient vicié et engendre maux de tête, somnolence, difficultés de concentration, pertes d’attention, une augmentation de la fréquence cardiaque de et légères nausées.

Détail du calcul

Le volume de $\text{CO}_2$ émis par heure par l’ensemble des élèves est :

$E_{\text{vol}} = 30 \times 20\text{ L/h} = 600\text{ L/h} = 0,6\text{ m}^3\text{/h}$

Le delta de concentration est donné par : $\Delta C = C_i(t) - C_0 = \frac{E_{\text{vol}}}{V}t$

Pour $t = 1\text{ h}$ dans une pièce de $V = 200\text{ m}^3$ :

$\Delta C = \frac{0,6\text{ m}^3\text{/h}}{200\text{ m}^3} \times 1\text{ h} = 0,003$

La concentration en ppm représente la fraction volumique multipliée par $10^6$ :

$\Delta C_{\text{ppm}} = 0,003 \times 10^6 = 3000\text{ ppm}$

Avec 400 ppm de $\text{CO}_2$ initialement (concentration extérieure) :

$C_i(1\text{h}) = C_0 + \Delta C_{\text{ppm}} = 400 + 3000 = 3400\text{ ppm}$

Expression du débit d’air

Le débit d’air est lié à l’effet thermique et du vent. L’équation de Phaff et De Gids (1982) permet d’estimer ce débit :

Q = \frac{S}{2} \sqrt{c_1 v_r^2 + c_2 H \Delta T + c_3}

Avec :

$\Delta T=0$
$S=$ surface de la fenêtre $0.77\,\text{m}^2$
$v_r=$ vitesse réelle du vent (ici $2 m/s$ car en ville, sinon $3 m/s$ dans un village, $4 m/s$ à la campagne)
$c_1=$ coefficient du type d’ouvrant (ici fenêtre unique : 0.001)
$c_2=$ coefficient de tirage thermique (ici convection 0.0035)
$c_3=$ coefficient du vent (0.01)

Le calcul donne $Q = 4.56\times10^{-2}\,\text{m}^3\text{·s}^{-1}$ , soit $\tau_{théo} = \frac{V}{Q} = 325\,\text{s}$ .

Résultats du modèle théorique

L’application de la formule obtenue plus haut dans les conditions expérimentales (sans source de CO2 dans la pièce) donne :

C_i(t) = (C_0 - C_{ext})e^{- \frac{t}{\tau_{théo}}} + C_{ext}

Avec :

$C_0 = 1500$ ppm
$C_{ext} = 400$ ppm
$\tau_{théo} = \frac{V}{Q} = 325$ s

L’évolution suivante est obtenue :

Évolution de la concentration en CO2 au cours du temps selon le modèle théorique

Les temps caractéristiques entre l’expérience et le modèle théorique sont du même ordre de grandeur.

Simulation numérique

Mouvement brownien : libre parcours moyen

Les particules dans l’air se déplacent de manière aléatoire et se percutent entre elles. La distance moyenne entre 2 chocs est appelée le libre parcours moyen. Ces mouvements aléatoires sont modélisés par le mouvement brownien.

Ce schéma représente la trajectoire de 2 particules dans l’air.

Les 2 particules vont entrer en collision si $b < 2r$ (avec $r \approx 2$ , $b$ la distance orthogonale entre les 2 trajectoires et $r$ le rayon de la particule B )
Section efficace de collision : $\sigma = \pi (2r)^2$ (collision si une particule se trouve dedans)
Volume balayé par la section pendant un intervalle de temps $\Delta t$ : $V = \sigma v \Delta t$ (avec $v$ la vitesse moyenne d’une particule)
Nombre de collisions pendant $\Delta t$ = Nombre d’atomes dans V = $nV$ (avec $n$ la densité volumique).
Fréquence de collisions : $f = \frac{nV}{\Delta t} = n \sigma v$
Libre parcours moyen : $l = \frac{v}{f} = \frac{1}{n \sigma}$
Approximation GP : $n = \frac{N}{V} = \frac{p}{k_B T}$ (avec $k_B$ la constante de Boltzmann)

Donc $l \approx 8 \cdot 10^{-8}m = 800 \AA$

Règles de la simulation numérique

Deux types de “particules” sont définis :

des “particules” de concentration 1500 ppm (en rouge, air pollué)
des “particules” de concentration 400 ppm (en bleu, air sain)

Le modèle de la marche aléatoire est implémenté : à chaque étape, chaque particule prend une direction aléatoire et avance du libre parcours moyen.

La simulation est en 2D, avec des .

À l’initialisation, à X < 150 à l’intérieur de la pièce, toutes les particules sont rouges et à X > 150 à l’extérieur, les particules sont bleues. L’extérieur est considéré comme une source infinie d’air : quand une particule sort de la pièce, elle devient bleue.

Simulation numérique 2D de la marche aléatoire des particules (mouvement brownien). En rouge, les particules chargées de CO2 (1500 ppm), qui deviennent bleues (air sain, 400 ppm) à la fenêtre ou à l'extérieur.

Problème de complexité

Il est impossible pour un ordinateur de simuler de façon exacte les particules avec le libre parcours moyen exact et le nombre d’itérations exact. La complexité explose et le temps de calcul devient trop long. Pour simuler 10 minutes, $4\cdot 10^{26}$ particules avec un libre parcours moyen de $8\cdot 10^{-8}m$ , il faudrait calculer $10^{39}$ marches aléatoires. Impossible même avec les supercalculateurs. Il faut donc approximer les 3 variables pour réduire la complexité.

Complexité informatique de la simulation

La convergence de la simulation vers la réalité est démontrée en annexe en faisant tendre les paramètres vers les valeurs réelles.

Résultat de la simulation

Après remise à l’échelle de la simulation adaptée, l’évolution suivante est obtenue :

Évolution de la concentration en CO2 au cours du temps selon la simulation numérique

Le temps caractéristique de 299s correspond aux résultats précédents.

Confrontation et validation des modèles - Conclusion

La superposition des trois courbes donne le résultat suivant :

Confrontation des trois approches (normale à gauche, linéarisée par le logarithme népérien à droite). Les coefficients de détermination $R^2$ sont calculés avec le modèle théorique comme référence.

Afin de quantifier la similarité entre les trois courbes et de valider le modèle théorique, ce dernier est linéarisé en appliquant le logarithme.

Cela permet de vérifier la nature exponentielle à l’aide du coefficient $R^2$ . Le coefficient $R^2$ du modèle de simulation numérique par rapport au modèle théorique est de $0.9987$ , ce qui confirme la validité de la simulation et des hypothèses formulées.

Le coefficient de corrélation de l’expérience avec le modèle théorique est de $0.9742$ , ce qui montre une corrélation satisfaisante. L’écart peut s’expliquer par plusieurs facteurs :

L’effet cumulé de toutes les hypothèses et approximations lors de la construction du modèle théorique
L’aléa expérimental (coups de vent, position et calibrage du capteur, autres variations de température, etc…)
Le réchauffement climatique et la pollution : L’hypothèse de 400 ppm de l’air extérieur est une approximation de moins en moins valable. D’après les données des observatoires américains, éloignés des activités humaines, la concentration mondiale moyenne en CO2 au moment où l’expérience a été réalisée était de 414 ppm (octobre 2021). En réalité, cette concentration était probablement encore plus élevée car réalisée au centre de Paris. à titre de comparaison, la concentration en CO2 4 ans plus tard est de 425ppm.

Références

B. Semin, É. Kierlik et J. Courty : Comment bien aérer les pièces : Pour la science n°518 (novembre 2020)
D. Laussman, D. Helm : Air Change Measurements Using Tracer Gases: Methods and Results. Significance of air change for indoor air quality (Chapitre 14) : IntechOpen(2011, ISBN 978-953-307-316-3)
Centres pour le contrôle et la prévention des maladies (CDC, USA) - Guidelines for Environmental Infection Control in Health-Care Facilities - https://www.cdc.gov/infectioncontrol/guidelines/environmental/appendix/air.html (2003)
J. Roussell : Diffusion de particules : https://femto-physique.fr/physique_statistique/diffusion-moleculaire.php (consulté le 30 septembre 2021)
Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer, Bernard Roulet : Eléments de physique statistique : Editions Hermann (1989, ISBN 9782705660659)
S. Allaire, A. Dutreix : VPOF ventilation naturelle par ouverture des fenêtres (2017) - https://www.enviroboite.net/vpof-ventilation-naturelle-par-ouverture-des-fenetres

Pollution au CO2 : modéliser l'aération d'une pièce fermée

Genèse